حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ بالصيغة $u - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u - 1}$ في صورة ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.5

بسّط.

$\int \frac{u - 1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{u - 1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.3

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{u - 1}{2 u} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u$

خطوة 4

اقسِم $u - 1$ على $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$u$

$0$

$u$

$1$

خطوة 4.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $u$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

خطوة 4.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

خطوة 4.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $u + 0$

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

خطوة 4.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

خطوة 4.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{u} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u)$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (u + C + \int - \frac{1}{u} d u)$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (u + C - \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (u + C - (\ln (| u |) + C))$

خطوة 9

بسّط.

$\frac{1}{2} (u - \ln (| u |)) + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} + 1 - \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

خطوة 11.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

خطوة 11.2.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

خطوة 11.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

خطوة 11.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)) + \frac{1}{2} + C$