حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 5 x \sqrt{2 x + 3} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x + 3$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int 5 (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $5$ .

$\int \frac{5}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) \sqrt{u} d u$

خطوة 2.1.2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{5}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot 5}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) d u$

خطوة 2.1.3

انقُل $5$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{5 \sqrt{u}}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) d u$

خطوة 2.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{u}{2} - \frac{3}{2}) d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{u}{2} + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{3}{2}) d u$

خطوة 3.2

أعِد ترتيب $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ و $- 1$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{u}{2} - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

خطوة 3.3

اضرب $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ في $\frac{u}{2}$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}} u}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

خطوة 3.4

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{5 (u^{\frac{1}{2}} u^{1})}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

خطوة 3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2} + 1}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

خطوة 3.6

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int \frac{5 u^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

خطوة 3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int \frac{5 u^{\frac{1 + 2}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

خطوة 3.8

أضف $1$ و $2$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

خطوة 3.9

اضرب $2$ في $2$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{3}{2} d u$

خطوة 3.10

اجمع $- 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ و $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 3}{2} d u$

خطوة 3.11

اجمع $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ و $3$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2}}{2} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $3$ في $5$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- 1 \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}}{2} d u$

خطوة 4.2

أعِد كتابة $- 1 \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ بالصيغة $- \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} + \frac{- \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}}{2} d u$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $\frac{- \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}}{2}$ في صورة حاصل ضرب.

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 4.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2} d u$

خطوة 4.5

اضرب $2$ في $2$ .

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} d u + \int - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{5}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{5}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{5}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{15 u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

خطوة 9

بما أن $\frac{15}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{15}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{15}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{15}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.2

أعِد كتابة $\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ بالصيغة $\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{15}{4}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 15}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.3.2

اضرب $2$ في $15$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{30}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.3.3

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{30}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $30$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.4.1

أخرِج العامل $6$ من $30$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6 (5)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.4.2.1

أخرِج العامل $6$ من $12$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} - \frac{5}{2} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 3$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5}{2} {(2 x + 3)}^{\frac{3}{2}} + C$