حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 2}^{4} x^{2} {(x^{3} + 8)}^{2} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{3} + 8$ . إذن $d u = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{3} + 8$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]$

خطوة 1.1.4

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{3} + 8$ .

$u_{lower} = {(- 2)}^{3} + 8$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$u_{lower} = - 8 + 8$

خطوة 1.3.2

أضف $- 8$ و $8$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{3} + 8$ .

$u_{upper} = 4^{3} + 8$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$u_{upper} = 64 + 8$

خطوة 1.5.2

أضف $64$ و $8$ .

$u_{upper} = 72$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 72$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{72} u^{2} \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{2}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{72} \frac{u^{2}}{3} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{72} u^{2} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{72}$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} u^{3}$ في $72$ وفي $0$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 72^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 5.2

ارفع $72$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 373248 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $373248$ .

$\frac{1}{3} (\frac{373248}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $373248$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $373248$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 5.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 124416}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 5.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} (\frac{124416}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 5.3.2.2.4

اقسِم $124416$ على $1$ .

$\frac{1}{3} (124416 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 5.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{3} (124416 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} (124416 + 0 (\frac{1}{3}))$

خطوة 5.5.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (124416 + 0)$

خطوة 5.6

أضف $124416$ و $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 124416$

خطوة 5.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $124416$ .

$\frac{124416}{3}$

خطوة 5.7.2

احذِف العامل المشترك لـ $124416$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $124416$ .

$\frac{3 \cdot 41472}{3}$

خطوة 5.7.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 41472}{3 (1)}$

خطوة 5.7.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 41472}{3 \cdot 1}$

خطوة 5.7.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{41472}{1}$

خطوة 5.7.2.2.4

اقسِم $41472$ على $1$ .

$41472$