حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} x^{3} {(2 x^{4} + 1)}^{2} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x^{4} + 1$ . إذن $d u = 8 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{8} d u = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x^{4} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4} + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{4} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $4$ في $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$8 x^{3} + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $8 x^{3}$ و $0$ .

$8 x^{3}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x^{4} + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{4} + 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x^{4} + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{4} + 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 + 1$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $2$ و $1$ .

$u_{upper} = 3$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{3} u^{2} \frac{1}{8} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{2}$ و $\frac{1}{8}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{u^{2}}{8} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{8} \int_{1}^{3} u^{2} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{3}$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} u^{3}$ في $3$ وفي $1$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 5.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $27$ .

$\frac{1}{8} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 5.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 5.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{8} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 5.3.2.2.4

اقسِم $9$ على $1$ .

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

خطوة 5.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{8} (9 - \frac{1}{3})$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

خطوة 5.5.2

اجمع $9$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

خطوة 5.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

خطوة 5.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

اضرب $9$ في $3$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

خطوة 5.5.4.2

اطرح $1$ من $27$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{26}{3}$

خطوة 5.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اضرب $\frac{1}{8}$ في $\frac{26}{3}$ .

$\frac{26}{8 \cdot 3}$

خطوة 5.6.2

اضرب $8$ في $3$ .

$\frac{26}{24}$

خطوة 5.6.3

احذِف العامل المشترك لـ $26$ و $24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

أخرِج العامل $2$ من $26$ .

$\frac{2 (13)}{24}$

خطوة 5.6.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $24$ .

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

خطوة 5.6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 12}$

خطوة 5.6.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{13}{12}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{13}{12}$

الصيغة العشرية:

$1.08\overline{3}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$1 \frac{1}{12}$