حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{2}}{e^{x^{3}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = x^{3}$ . إذن $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{e^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{e^{u_{1}}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{e^{u_{1}} \cdot 3} d u_{1}$

خطوة 2.2

انقُل $3$ إلى يسار $e^{u_{1}}$ .

$\int \frac{1}{3 e^{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اعكِس علامة أُس $e^{u_{1}}$ وأخرِجها من القاسم.

$\frac{1}{3} \int 1 {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

خطوة 4.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

خطوة 4.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 u_{1}$ بالصيغة $- u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int 1 e^{- u_{1}} d u_{1}$

خطوة 4.2.2

اضرب $e^{- u_{1}}$ في $1$ .

$\frac{1}{3} \int e^{- u_{1}} d u_{1}$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{2} = - u_{1}$ . إذن $d u_{2} = - d u_{1}$ ، لذا $- d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{2} = - u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $- u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

خطوة 5.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $- u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

خطوة 7

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (- (e^{u_{2}} + C))$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط.

$\frac{1}{3} (- e^{u_{2}}) + C$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{e^{u_{2}}}{3} + C$

خطوة 9

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- u_{1}$ .

$- \frac{e^{- u_{1}}}{3} + C$

خطوة 9.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{3}$ .

$- \frac{e^{- x^{3}}}{3} + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{3} e^{- x^{3}} + C$