حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

خطوة 1

اضرب $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x$

خطوة 2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x} \sqrt{x}} d x$

خطوة 2.2

انقُل $\sqrt{x}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 (\sqrt{x} \sqrt{x})} d x$

خطوة 2.3

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x})} d x$

خطوة 2.4

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 ({\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1})} d x$

خطوة 2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{1 + 1}} d x$

خطوة 2.6

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {\sqrt{x}}^{2}} d x$

خطوة 2.7

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

خطوة 2.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

خطوة 2.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

خطوة 2.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{\frac{2}{2}}} d x$

خطوة 2.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x^{1}} d x$

خطوة 2.7.5

بسّط.

$\int \frac{\sqrt{x}}{2 x} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1} \cdot 2} d u_{1}$

خطوة 4.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{2 u_{1}} d u_{1}$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{\frac{u_{1}}{2}}}{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 6

لنفترض أن $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ ، لذا $2 d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

خطوة 6.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $\frac{u_{1}}{2}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} (1 \cdot 2) d u_{2}$

خطوة 7.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} \cdot 2 d u_{2}$

خطوة 7.1.3

اجمع $\frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}}$ و $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}} \cdot 2}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 \cdot \sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \int \frac{2 \sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{2}}$ في صورة ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

انقُل ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 7.3.2

اضرب $u_{2}$ في ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اضرب $u_{2}$ في ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1.1

ارفع $u_{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 7.3.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 7.3.2.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 7.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 7.3.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

خطوة 7.4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

انقُل ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 7.4.2

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 7.4.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

خطوة 7.4.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $\frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.2

أعِد كتابة $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ بالصيغة $1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$1 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 9.3

اضرب ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

${u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\frac{u_{1}}{2}$ .

${(\frac{u_{1}}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 10.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

${(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اختزِل العبارة $\frac{2 x}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

ألغِ العامل المشترك.

${(\frac{2 x}{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 11.1.2

أعِد كتابة العبارة.

${(\frac{x}{1})}^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 11.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + C$