حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (- 12 x - 1) \sqrt{- 6 x^{2} - x + 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = - 6 x^{2} - x + 1$ . إذن $d u = (- 12 x - 1) d x$ ، لذا $\frac{1}{- 12 x - 1} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = - 6 x^{2} - x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $- 6 x^{2} - x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2} - x + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 6 x^{2} - x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 6$ .

$- 12 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 12 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 12 x - 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 12 x - 1 + 0$

خطوة 1.1.5.2

أضف $- 12 x - 1$ و $0$ .

$- 12 x - 1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

خطوة 2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 4

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 6 x^{2} - x + 1$ .

$\frac{2}{3} {(- 6 x^{2} - x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$