حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{1}^{2}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $2$ وفي $1$ .

$\frac{1}{2} ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{2}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{\ln (\frac{2}{| 1 |})}{2}$

خطوة 5.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{\ln (\frac{2}{1})}{2}$

خطوة 5.3.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{\ln (2)}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\ln (2)}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.34657359 \dots$