حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ بالصيغة $u - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u - 1}$ في صورة ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.5

بسّط.

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{u - 1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 2.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وسّع $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.6

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 10.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 12.2

لكتابة $- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

خطوة 12.3

اجمع $- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

خطوة 12.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

خطوة 12.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أخرِج العامل $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1.1

انقُل ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

خطوة 12.5.1.2

أخرِج العامل $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) - 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

خطوة 12.5.1.3

أخرِج العامل $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $- 2 \cdot 3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)}{3} + C$

خطوة 12.5.1.4

أخرِج العامل $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3)}{3} + C$

خطوة 12.5.2

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - 3)}{3} + C$

خطوة 12.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.3.1

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{1} - 3)}{3} + C$

خطوة 12.5.3.2

بسّط.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1 - 3)}{3} + C$

خطوة 12.5.4

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2)}{3} + C$

خطوة 12.6

اجمع.

$\frac{1 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{2 \cdot 3} + C$

خطوة 12.7

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{2 \cdot 3} + C$

خطوة 12.8

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2))}{3} + C$

خطوة 12.9

اضرب ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2)}{3} + C$