حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x + 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{2} - 3 (u - 1) + 2}{u} d u$

خطوة 2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} + \frac{- 3 (u - 1)}{u} + \frac{2}{u} d u$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u + \int \frac{- 3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 4

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{{(u - 1)}^{2}}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 4.2

أعِد كتابة ${(u - 1)}^{2}$ بالصيغة $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int \frac{(u - 1) (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{u (u - 1) - 1 (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 4.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 4.6

أعِد ترتيب $u$ و $- 1$ .

$\int \frac{u \cdot u - 1 \cdot u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 5

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{u^{1} u - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 6

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{u^{1 + 1} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u - 1 \cdot - 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 8.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int \frac{u^{2} - 1 u - 1 u + 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 9

اطرح $1 u$ من $- 1 u$ .

$\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 10

اقسِم $u^{2} - 2 u + 1$ على $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

خطوة 10.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $u^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$

خطوة 10.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

خطوة 10.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $u^{2} + 0$

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

خطوة 10.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$

خطوة 10.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

خطوة 10.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 u$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $u$ .

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$

خطوة 10.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	+	$0$

خطوة 10.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 u + 0$

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$

خطوة 10.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$u$	-	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	-	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					-	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

خطوة 10.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int u - 2 + \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 11

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u d u + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int - 2 d u + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 13

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 14

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C + \int - \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 15

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - \int \frac{3 (u - 1)}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 16

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - (3 \int \frac{u - 1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 17

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 \int \frac{u - 1}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 18

اقسِم $u - 1$ على $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$u$

$0$

$u$

$1$

خطوة 18.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $u$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

خطوة 18.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

خطوة 18.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $u + 0$

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

خطوة 18.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

خطوة 18.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 \int 1 - \frac{1}{u} d u + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 19

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 20

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C + \int - \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 21

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 22

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + \int \frac{2}{u} d u$

خطوة 23

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + 2 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 24

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C - 2 u + C + \ln (| u |) + C - 3 (u + C - (\ln (| u |) + C)) + 2 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 25

بسّط.

$\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \ln (| u |) - 3 u + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

خطوة 26

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} u^{2} - 2 u + \ln (| u |) - 3 u + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

خطوة 27

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.1

اطرح $3 u$ من $- 2 u$ .

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + \ln (| u |) + 3 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

خطوة 27.2

أضف $\ln (| u |)$ و $3 \ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + 4 \ln (| u |) + 2 \ln (| u |) + C$

خطوة 27.3

أضف $4 \ln (| u |)$ و $2 \ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} - 5 u + 6 \ln (| u |) + C$

خطوة 28

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2} - 5 (x + 1) + 6 \ln (| x + 1 |) + C$