حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} + 3} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} + 3$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int {\sqrt{u - 3}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u - 3}}^{2}$ بالصيغة $u - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u - 3}$ في صورة ${(u - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(u - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int {(u - 3)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int {(u - 3)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int {(u - 3)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.1.5

بسّط.

$\int (u - 3) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{u}$ .

$\int (u - 3) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 2.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 3) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3.2

اجمع $u$ و $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3.3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - 3 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3.7

أضف $2$ و $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 3.8

اجمع $- 3$ و $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 3 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int - \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \int \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

خطوة 9

بما أن $\frac{3}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{3}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - (\frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - \frac{3}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.2

أعِد كتابة $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ بالصيغة $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{6}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - 1 \cdot 1 u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 11.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{5} {(x^{2} + 3)}^{\frac{5}{2}} - {(x^{2} + 3)}^{\frac{3}{2}} + C$