حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x}{x + 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{u - 1}{u} d u$

خطوة 2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int \frac{u}{u} + \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int d u + \int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int d u + \int - \frac{1}{u} d u$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$u + C + \int - \frac{1}{u} d u$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$u + C - \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 7

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$u + C - (\ln (| u |) + C)$

خطوة 8

بسّط.

$u - \ln (| u |) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$x + 1 - \ln (| x + 1 |) + C$