حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} e^{2 x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{2})}^{2} e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{u_{1}}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{2})}^{2} \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1}$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ ، لذا $2 d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

خطوة 3.1.2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $\frac{u_{1}}{2}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} e^{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = {u_{2}}^{2}$ و $d v = e^{2 u_{2}}$ .

${u_{2}}^{2} (\frac{1}{2} e^{u_{3}}) - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{u_{3}}$ .

${u_{2}}^{2} \frac{e^{u_{3}}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

خطوة 5.2

اجمع ${u_{2}}^{2}$ و $\frac{e^{u_{3}}}{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2$ خارج التكامل.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{1}{2} e^{u_{3}} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{e^{u_{3}}}{2} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{e^{u_{3}}}{2}$ و $2$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{e^{u_{3}} \cdot 2}{2} \int u_{2} d u_{2})$

خطوة 7.3

انقُل $2$ إلى يسار $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{2 \cdot e^{u_{3}}}{2} \int u_{2} d u_{2})$

خطوة 7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (\frac{2 e^{u_{3}}}{2} \int u_{2} d u_{2})$

خطوة 7.4.2

اقسِم $e^{u_{3}}$ على $1$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - (e^{u_{3}} \int u_{2} d u_{2})$

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} \int u_{2} d u_{2}$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u_{2}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

خطوة 9.2

أعِد كتابة $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - e^{u_{3}} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$ بالصيغة $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$

خطوة 10

احذِف الأقواس.

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{u_{3}} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

خطوة 11.2

اجمع $\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ و $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} e^{u_{3}} + C$

خطوة 11.3

اجمع ${u_{2}}^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2}}{2} e^{u_{3}} + C$

خطوة 11.4

اجمع $e^{u_{3}}$ و $\frac{{u_{2}}^{2}}{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{2} + C$

خطوة 11.5

اطرح $\frac{e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{2}$ من $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أعِد ترتيب $e^{u_{3}}$ و ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2} + C$

خطوة 11.5.2

اطرح $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ من $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{2}$ .

$0 + C$

خطوة 11.6

أضف $0$ و $C$ .

$C$