حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$π \int_{0}^{2} {(3 x^{2} + 2)}^{2} d x$

خطوة 1

تعذّر إكمال هذا التكامل باستخدام طريقة التكامل بالتعويض. سيستخدم Mathway طريقة أخرى.

خطوة 2

وسّع ${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ بالصيغة $(3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2)$ .

$π \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2) d x$

خطوة 2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2} + 2) + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

خطوة 2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

خطوة 2.5

انقُل $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

خطوة 2.6

انقُل $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

خطوة 2.7

اضرب $3$ في $3$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

خطوة 2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

خطوة 2.9

أضف $2$ و $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

خطوة 2.10

اضرب $3$ في $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

خطوة 2.11

اضرب $2$ في $3$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

خطوة 2.12

اضرب $2$ في $2$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 4 d x$

خطوة 2.13

أضف $6 x^{2}$ و $6 x^{2}$ .

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 12 x^{2} + 4 d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$π (\int_{0}^{2} 9 x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

خطوة 4

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $9$ خارج التكامل.

$π (9 \int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (9 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{5}$ و $x^{5}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

خطوة 7

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

خطوة 11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $\frac{x^{5}}{5}$ في $2$ وفي $0$ .

$π (9 ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $2$ وفي $0$ .

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 x]_{0}^{2})$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $4 x$ في $2$ وفي $0$ .

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.3.1

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$π (9 (\frac{32}{5} - 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5} + 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.5

أضف $\frac{32}{5}$ و $0$ .

$π (9 (\frac{32}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.6

اجمع $9$ و $\frac{32}{5}$ .

$π (\frac{9 \cdot 32}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.7

اضرب $9$ في $32$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.8

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.9

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.10

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.10.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.10.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.11

اضرب $- 1$ في $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} + 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.12

أضف $\frac{8}{3}$ و $0$ .

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.13

اجمع $12$ و $\frac{8}{3}$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{12 \cdot 8}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.14

اضرب $12$ في $8$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{96}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.15

احذِف العامل المشترك لـ $96$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.15.1

أخرِج العامل $3$ من $96$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.15.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 (1)} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$π (\frac{288}{5} + \frac{32}{1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.15.2.4

اقسِم $32$ على $1$ .

$π (\frac{288}{5} + 32 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.16

لكتابة $32$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{288}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.17

اجمع $32$ و $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{288}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$π (\frac{288 + 32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.19

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.19.1

اضرب $32$ في $5$ .

$π (\frac{288 + 160}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.19.2

أضف $288$ و $160$ .

$π (\frac{448}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.20

اضرب $4$ في $2$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 - 4 \cdot 0)$

خطوة 11.4.21

اضرب $- 4$ في $0$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 + 0)$

خطوة 11.4.22

أضف $8$ و $0$ .

$π (\frac{448}{5} + 8)$

خطوة 11.4.23

لكتابة $8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{448}{5} + 8 \cdot \frac{5}{5})$

خطوة 11.4.24

اجمع $8$ و $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{448}{5} + \frac{8 \cdot 5}{5})$

خطوة 11.4.25

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$π \frac{448 + 8 \cdot 5}{5}$

خطوة 11.4.26

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.26.1

اضرب $8$ في $5$ .

$π \frac{448 + 40}{5}$

خطوة 11.4.26.2

أضف $448$ و $40$ .

$π \frac{488}{5}$

خطوة 11.4.27

اجمع $π$ و $\frac{488}{5}$ .

$\frac{π \cdot 488}{5}$

خطوة 11.4.28

انقُل $488$ إلى يسار $π$ .

$\frac{488 π}{5}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{488 π}{5}$

الصيغة العشرية:

$306.61944299 \dots$

خطوة 13