حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 2 e^{2 x} {(e^{2 x} - 5)}^{7} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = e^{2 x} - 5$ . إذن $d u_{2} = 2 e^{2 x} d x$ ، لذا $\frac{1}{2 e^{2 x}} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = e^{2 x} - 5$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $e^{2 x} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 5]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{2 x} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 e^{2 x} + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $2 e^{2 x}$ و $0$ .

$2 e^{2 x}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{7} d u_{2}$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{7}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{1}{8} {u_{2}}^{8}$ .

$\frac{1}{8} {u_{2}}^{8} + C$

خطوة 3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{2 x} - 5$ .

$\frac{1}{8} {(e^{2 x} - 5)}^{8} + C$