حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} x^{2} {(1 + 2 x^{3})}^{5} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + 2 x^{3}$ . إذن $d u = 6 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + 2 x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + 2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{3}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$0 + 2 (3 x^{2})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$0 + 6 x^{2}$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $6 x^{2}$ .

$6 x^{2}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + 2 x^{3}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{3}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + 2 x^{3}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1^{3}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $2$ .

$u_{upper} = 3$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{3} u^{5} \frac{1}{6} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{5}$ و $\frac{1}{6}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{u^{5}}{6} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{3} u^{5} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{3}$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{6} u^{6}$ في $3$ وفي $1$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{1}{6} \cdot 3^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

خطوة 5.2

ارفع $3$ إلى القوة $6$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اجمع $\frac{1}{6}$ و $729$ .

$\frac{1}{6} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

خطوة 5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $729$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $729$ .

$\frac{1}{6} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{1}{6} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

خطوة 5.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{6} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

خطوة 5.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

خطوة 5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

خطوة 5.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6})$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

لكتابة $\frac{243}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6})$

خطوة 5.5.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اضرب $\frac{243}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6})$

خطوة 5.5.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6})$

خطوة 5.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6}$

خطوة 5.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

اضرب $243$ في $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{729 - 1}{6}$

خطوة 5.5.4.2

اطرح $1$ من $729$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{728}{6}$

خطوة 5.5.5

احذِف العامل المشترك لـ $728$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.1

أخرِج العامل $2$ من $728$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 (364)}{6}$

خطوة 5.5.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

خطوة 5.5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

خطوة 5.5.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{364}{3}$

خطوة 5.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اضرب $\frac{1}{6}$ في $\frac{364}{3}$ .

$\frac{364}{6 \cdot 3}$

خطوة 5.6.2

اضرب $6$ في $3$ .

$\frac{364}{18}$

خطوة 5.6.3

احذِف العامل المشترك لـ $364$ و $18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

أخرِج العامل $2$ من $364$ .

$\frac{2 (182)}{18}$

خطوة 5.6.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$\frac{2 \cdot 182}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 182}{2 \cdot 9}$

خطوة 5.6.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{182}{9}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{182}{9}$

الصيغة العشرية:

$20.\overline{2}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$20 \frac{2}{9}$