حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{4} x e^{x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = e^{x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = e^{x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

خطوة 1.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

خطوة 1.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = e^{0}$

خطوة 1.3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{4^{2}}$

خطوة 1.5

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = e^{16}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{16}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{e^{16}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{16}}$

خطوة 3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} u_{2}$ في $e^{16}$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{16}) - \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{16}$ .

$\frac{e^{16}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{e^{16}}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{e^{16}}{2} - \frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$4443054.76025393$