حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{1 + 2 x}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + 2$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $2$ .

$2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + 2 x$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + 2 x$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 4$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $2$ في $4$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $8$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{9} \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.2

اجمع.

$\int_{1}^{9} \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.6

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{1}^{9} \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.7.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.8

اضرب $\frac{u - 1}{2 \sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 2.9

اضرب $2$ في $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u - 1}{4 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وسّع $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.6

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{9} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}))$

خطوة 10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $9$ وفي $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}))$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $9$ وفي $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.3.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.2

اضرب $2$ في $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.3

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.3.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1 - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.5.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

لكتابة $18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.6.2

اجمع $18$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.6.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.4.1

اضرب $18$ في $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54 - 2}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.6.4.2

اطرح $2$ من $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.7.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.7.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.7.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.8.1

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.8.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (6 - 2 \cdot 1))$

خطوة 10.8.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - (6 - 2))$

خطوة 10.8.4

اطرح $2$ من $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - 1 \cdot 4)$

خطوة 10.8.5

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - 4)$

خطوة 10.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.1

لكتابة $- 4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 10.9.2

اجمع $- 4$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{52}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})$

خطوة 10.9.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52 - 4 \cdot 3}{3}$

خطوة 10.9.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.9.4.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52 - 12}{3}$

خطوة 10.9.4.2

اطرح $12$ من $52$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{40}{3}$

خطوة 10.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.10.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{40}{3}$ .

$\frac{40}{4 \cdot 3}$

خطوة 10.10.2

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{40}{12}$

خطوة 10.10.3

احذِف العامل المشترك لـ $40$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.10.3.1

أخرِج العامل $4$ من $40$ .

$\frac{4 (10)}{12}$

خطوة 10.10.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.10.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{4 \cdot 10}{4 \cdot 3}$

خطوة 10.10.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 10}{4 \cdot 3}$

خطوة 10.10.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{10}{3}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{10}{3}$

الصيغة العشرية:

$3.\overline{3}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$3 \frac{1}{3}$