حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} e^{- x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u$ .

$\int - {(- (u))}^{2} e^{u} d u$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الضرب على $- (u)$ .

$\int - ({(- 1)}^{2} u^{2}) e^{u} d u$

خطوة 2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\int - (1 u^{2}) e^{u} d u$

خطوة 2.4

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$\int - u^{2} e^{u} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int u^{2} e^{u} d u$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u^{2}$ و $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - \int e^{u} (2 u) d u)$

خطوة 5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- (u^{2} e^{u} - (2 \int e^{u} (u) d u))$

خطوة 6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 \int e^{u} (u) d u)$

خطوة 7

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u$ و $dv = e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u))$

خطوة 8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$

خطوة 9

أعِد كتابة $- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$ بالصيغة $- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$ .

$- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$- ({(- x)}^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- x$ .

$- ({(- 1)}^{2} x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

خطوة 11.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- (1 x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

خطوة 11.1.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$- (x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

خطوة 11.1.4

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

خطوة 11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- (x^{2} e^{- x}) - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

خطوة 11.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C$

$- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$