حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{4 + r^{2}}} d r$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 + r^{2}$ . إذن $d u = 2 r d r$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = r d r$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 + r^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d r}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + r^{2}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 r$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $2 r$ .

$2 r$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $r$ في $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 4 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $4$ و $0$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $r$ في $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 4 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $4$ و $1$ .

$u_{upper} = 5$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 5$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{4}^{5} \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ بالصيغة $u - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u - 4}$ في صورة ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int_{4}^{5} \frac{{(u - 4)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.1.5

بسّط.

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{u - 4}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 2.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{5} \frac{u - 4}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{u - 4}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} \frac{u - 4}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} (u - 4) u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وسّع $(u - 4) u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{1 - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.6

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{5} u^{\frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int_{4}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{4}^{5} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} + \int_{4}^{5} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 8

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} - 4 \int_{4}^{5} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{5} - 4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{5}))$

خطوة 10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $5$ وفي $4$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{5}))$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $5$ وفي $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.3

اجمع $\frac{2}{3}$ و $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8 - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.2.1

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3}) - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.2.2

اجمع $- 8$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.2.3

اضرب $- 8$ في $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 10.4.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}))$

خطوة 10.4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}))$

خطوة 10.4.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{1}))$

خطوة 10.4.3.4

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2))$

خطوة 10.4.4

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4))$

خطوة 10.4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.5.1

لكتابة $- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

خطوة 10.4.5.2

اجمع $- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

خطوة 10.4.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 4 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4) \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

خطوة 10.4.5.4

اضرب $3$ في $- 4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 12 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)}{3} - \frac{16}{3})$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}} - 12 (2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} - 4)}{3} - \frac{16}{3})$

الصيغة العشرية:

$0.11584138 \dots$