حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{e}^{e^{4}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (e)$

خطوة 1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $4$ خارج الأُس.

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

خطوة 1.5.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

خطوة 1.5.3

اضرب $4$ في $1$ .

$u_{upper} = 4$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 2.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 2.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $4$ وفي $1$ .

$(2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 - 2 \cdot 1$

خطوة 4.3.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$4 - 2$

خطوة 4.3.4

اطرح $2$ من $4$ .

$2$