حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sin^{5} (x) d x$

خطوة 1

أخرِج عامل $\sin^{4} (x)$ .

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

خطوة 2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${\sin (x)}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sin^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

خطوة 6

وسّع ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة ${(1 - u^{2})}^{2}$ بالصيغة $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- \int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

خطوة 6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

خطوة 6.4

طبّق خاصية التوزيع.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

خطوة 6.5

انقُل $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

خطوة 6.6

انقُل $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6.7

اضرب $1$ في $1$ .

$- \int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6.10

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6.11

اضرب $u^{2}$ في $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

خطوة 6.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

خطوة 6.13

أضف $2$ و $2$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 6.14

اطرح $u^{2}$ من $- u^{2}$ .

$- \int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

خطوة 6.15

أعِد ترتيب $- 2 u^{2}$ و $u^{4}$ .

$- \int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

خطوة 6.16

انقُل $1$ .

$- \int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- (\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

خطوة 9

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

خطوة 12.1.2

اجمع $\frac{1}{5}$ و $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

خطوة 12.2

بسّط.

$- (\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u) + C$

خطوة 13

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos^{5} (x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (x)}{3} + \cos (x)) + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$