حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{{(u + 1)}^{2}}{u} d u$

خطوة 2

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(u + 1)}^{2}$ بالصيغة $(u + 1) (u + 1)$ .

$\int \frac{(u + 1) (u + 1)}{u} d u$

خطوة 2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{u (u + 1) + 1 (u + 1)}{u} d u$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot 1 + 1 (u + 1)}{u} d u$

خطوة 2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot 1 + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب $u$ و $1$ .

$\int \frac{u \cdot u + 1 \cdot u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

خطوة 3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{u^{1} u + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

خطوة 4

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{1} + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{u^{1 + 1} + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{u^{2} + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

خطوة 6.2

اضرب $u$ في $1$ .

$\int \frac{u^{2} + u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

خطوة 6.3

اضرب $u$ في $1$ .

$\int \frac{u^{2} + u + u + 1 \cdot 1}{u} d u$

خطوة 6.4

اضرب $1$ في $1$ .

$\int \frac{u^{2} + u + u + 1}{u} d u$

خطوة 7

أضف $u$ و $u$ .

$\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u} d u$

خطوة 8

اقسِم $u^{2} + 2 u + 1$ على $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

خطوة 8.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $u^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $u$ .

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$

خطوة 8.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

خطوة 8.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $u^{2} + 0$

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

خطوة 8.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$

خطوة 8.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$

خطوة 8.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 u$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $u$ .

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$

خطوة 8.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	+	$0$

خطوة 8.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 u + 0$

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	-	$0$

خطوة 8.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

خطوة 8.11

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int u + 2 + \frac{1}{u} d u$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u d u + \int 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} u^{2} + C + 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} u^{2} + C + 2 u + C + \ln (| u |) + C$

خطوة 13

بسّط.

$\frac{1}{2} u^{2} + 2 u + \ln (| u |) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + 2 (x - 1) + \ln (| x - 1 |) + C$