حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

خطوة 1

تعذّر إكمال هذا التكامل باستخدام طريقة التكامل بالتعويض. سيستخدم Mathway طريقة أخرى.

خطوة 2

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{16 + x^{2}} d x$

خطوة 3

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{4^{2} + x^{2}} d x$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{4^{2} + x^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{4} \arctan (\frac{x}{4})]_{t}^{0}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\arctan (\frac{x}{4})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}]_{t}^{0}$

خطوة 5.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احسِب قيمة $\frac{\arctan (\frac{x}{4})}{4}$ في $0$ وفي $t$ .

$lim_{t \to - \infty} (\frac{\arctan (\frac{0}{4})}{4}) - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

خطوة 5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 (0)}{4})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

خطوة 5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

خطوة 5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

خطوة 5.2.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0)}{4} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

جمّع الكسور باستخدام قاسم مشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (0) - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

خطوة 6.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{0 - \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

خطوة 6.1.2.2

اطرح $\arctan (\frac{t}{4})$ من $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- \arctan (\frac{t}{4})}{4}$

خطوة 6.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

خطوة 6.2

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{\arctan (\frac{t}{4})}{4}$

خطوة 6.3

انقُل الحد $\frac{1}{4}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (\frac{t}{4})$

خطوة 6.4

النهاية عند قيمة غير متناهية سالبة لمتعدد حدود ذي درجة فردية ومعامله الرئيسي موجب تساوي قيمة غير متناهية سالبة.

$- \frac{1}{4} - \infty$

خطوة 6.5

عوّض بـ $t$ عن $\frac{t}{4}$ وافترض أن $t$ تقترب من $- \infty$ بما أن $lim_{t \to - \infty} \frac{t}{4} = - \infty$ .

$- \frac{1}{4} lim_{t \to - \infty} \arctan (t)$

خطوة 6.6

النهاية عند اقتراب $t$ من $- \infty$ هي $- \frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot - 1 \frac{π}{2}$

خطوة 6.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1

اضرب $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{4}) \frac{π}{2}$

خطوة 6.7.1.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$

خطوة 6.7.2

اضرب $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.7.2.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

خطوة 6.7.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{π}{8}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{8}$

الصيغة العشرية:

$0.39269908 \dots$