حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

خطوة 1

تعذّر إكمال هذا التكامل باستخدام طريقة التكامل بالتعويض. سيستخدم Mathway طريقة أخرى.

خطوة 2

لنفترض أن $x = 2 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 2 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $2 \cos (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.1.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $4$ من $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.4

أخرِج العامل $4$ من $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.6

أعِد كتابة $4 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 \cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $2 \cos (t)$ من ${(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{2 \cos (t) ({(2 \sin (t))}^{2})} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

خطوة 3.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2}} d t$

خطوة 3.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} d t$

خطوة 3.2.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{2^{2} \sin^{2} (t)} d t$

خطوة 3.2.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{4 \sin^{2} (t)} d t$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

خطوة 5

حوّل من $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ إلى $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (t) d t$

خطوة 6

بما أن مشتق $- \cot (t)$ هو $\csc^{2} (t)$ ، إذن تكامل $\csc^{2} (t)$ هو $- \cot (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (t) + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

$\frac{1}{4} (- \cot (t)) + C$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\cot (t)$ .

$- \frac{\cot (t)}{4} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))}{4} + C$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ و $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arcsin (\frac{x}{2})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ . إذن، $\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))$ تساوي $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

خطوة 9.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.3

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = \frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.7

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.9

اضرب $\frac{2 + x}{2}$ في $\frac{2 - x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.10

اضرب $2$ في $2$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.11

أعِد كتابة $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.11.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $(2 + x) (2 - x)$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.11.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.11.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.12

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.13

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.14

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.14.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.14.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}}{4} + C$

خطوة 9.1.15

اجمع $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ و $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}}{4} + C$

خطوة 9.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

خطوة 9.3

اضرب $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$ في $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x \cdot 4} + C$

خطوة 9.4

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{4 x} + C$