حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 6 x^{2} \sqrt{3 x^{3} - 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 x^{3} - 1$ . إذن $d u = 9 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 x^{3} - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{3} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$9 x^{2} + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $9 x^{2}$ و $0$ .

$9 x^{2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int 6 \sqrt{u} \frac{1}{9} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{9}$ و $6$ .

$\int \frac{6}{9} \sqrt{u} d u$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{6}{9}$ و $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{6 \sqrt{u}}{9} d u$

خطوة 2.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $6 \sqrt{u}$ .

$\int \frac{3 (2 \sqrt{u})}{9} d u$

خطوة 2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\int \frac{3 (2 \sqrt{u})}{3 (3)} d u$

خطوة 2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{3 (2 \sqrt{u})}{3 \cdot 3} d u$

خطوة 2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{2 \sqrt{u}}{3} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{2}{3} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{2}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ بالصيغة $\frac{4}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{4}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x^{3} - 1$ .

$\frac{4}{9} {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$