حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sin (x)}{1 + \cos^{2} (x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- d u = \sin (x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{- 1}{1 + u^{2}} d u$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

خطوة 4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\arctan (u) + C$ .

$- (\arctan (u) + C)$

خطوة 6

بسّط.

$- \arctan (u) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$- \arctan (\cos (x)) + C$