حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{3} x \sqrt{9 - x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 9 - x^{2}$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 9 - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $9 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 x$

خطوة 1.1.4

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 9 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 9 - 0^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 9 - 0$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 9 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $9$ و $0$ .

$u_{lower} = 9$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 9 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 9 - 3^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 9 - 1 \cdot 9$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

$u_{upper} = 9 - 9$

خطوة 1.5.2

اطرح $9$ من $9$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{9}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{9}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 2.2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{9}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{9}^{0} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int_{9}^{0} \sqrt{u} d u)$

خطوة 5

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{9}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{0}$

خطوة 7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $0$ وفي $9$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.3

اضرب $\frac{2}{3}$ في $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 7.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 7.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

خطوة 7.4.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{2}{3} \cdot 27)$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اضرب $27$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 27 (\frac{2}{3}))$

خطوة 7.5.2

اجمع $- 27$ و $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

خطوة 7.5.3

اضرب $- 27$ في $2$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 54}{3})$

خطوة 7.5.4

احذِف العامل المشترك لـ $- 54$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.4.1

أخرِج العامل $3$ من $- 54$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

خطوة 7.5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.4.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

خطوة 7.5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

خطوة 7.5.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{- 18}{1})$

خطوة 7.5.4.2.4

اقسِم $- 18$ على $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 18)$

خطوة 7.6

اطرح $18$ من $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 18$

خطوة 7.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

اضرب $- 18$ في $- 1$ .

$18 (\frac{1}{2})$

خطوة 7.7.2

اجمع $18$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{18}{2}$

خطوة 7.7.3

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

خطوة 7.7.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

خطوة 7.7.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.7.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9}{1}$

خطوة 7.7.3.2.4

اقسِم $9$ على $1$ .

$9$