حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\ln (2)}^{\ln (8)} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + e^{x}$ . إذن $d u = e^{x} d x$ ، لذا $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + e^{x}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $e^{x}$ .

$e^{x}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{lower} = 1 + e^{\ln (2)}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$u_{lower} = 1 + 2$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $2$ .

$u_{lower} = 3$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + e^{x}$ .

$u_{upper} = 1 + e^{\ln (8)}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$u_{upper} = 1 + 8$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $8$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{3}^{9} \frac{1}{u} d u$

خطوة 2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{3}^{9}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $9$ وفي $3$ .

$(\ln (| 9 |)) - \ln (| 3 |)$

خطوة 4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $9$ تساوي $9$ .

$\ln (\frac{9}{| 3 |})$

خطوة 5.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$\ln (\frac{9}{3})$

خطوة 5.3

اقسِم $9$ على $3$ .

$\ln (3)$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (3)$

الصيغة العشرية:

$1.09861228 \dots$