حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 + x^{4}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + x^{4}$ . إذن $d u = 4 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + x^{4}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

خطوة 2.2

انقُل $4$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $\frac{1}{4} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ بالصيغة $\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 + x^{4}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$