حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{5} \sqrt{y + 4} d y$

خطوة 1

لنفترض أن $u = y + 4$ . إذن $d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = y + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 4$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

خطوة 1.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $y$ في $u = y + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

خطوة 1.3

أضف $0$ و $4$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $y$ في $u = y + 4$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

خطوة 1.5

أضف $5$ و $4$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{4}^{9} \sqrt{u} d u$

خطوة 2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $9$ وفي $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.4

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $27$ .

$\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.3.2

اضرب $2$ في $27$ .

$\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $54$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.3.3.2.4

اقسِم $18$ على $1$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

خطوة 4.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

خطوة 4.4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

خطوة 4.4.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$18 - \frac{2}{3} \cdot 8$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $8$ في $- 1$ .

$18 - 8 (\frac{2}{3})$

خطوة 4.5.2

اجمع $- 8$ و $\frac{2}{3}$ .

$18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

خطوة 4.5.3

اضرب $- 8$ في $2$ .

$18 + \frac{- 16}{3}$

خطوة 4.5.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$18 - \frac{16}{3}$

خطوة 4.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

لكتابة $18$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}$

خطوة 4.6.2

اجمع $18$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

خطوة 4.6.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

خطوة 4.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.4.1

اضرب $18$ في $3$ .

$\frac{54 - 16}{3}$

خطوة 4.6.4.2

اطرح $16$ من $54$ .

$\frac{38}{3}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{38}{3}$

الصيغة العشرية:

$12.\overline{6}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$12 \frac{2}{3}$