حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x e^{3 x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{u}{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{u}{3}$ و $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{3} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{u e^{u}}{3}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{3 \cdot 3} d u$

خطوة 2.3

اضرب $3$ في $3$ .

$\int \frac{u e^{u}}{9} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{9}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{9}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{9} \int u e^{u} d u$

خطوة 4

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u$ و $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{9} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

خطوة 5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{9} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

خطوة 6

بسّط.

$\frac{1}{9} (u e^{u} - e^{u}) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x} - e^{3 x}) + C$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{9} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

خطوة 8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{1}{3 (3)} (3 x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

خطوة 8.2.2

أخرِج العامل $3$ من $3 x e^{3 x}$ .

$\frac{1}{3 (3)} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

خطوة 8.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3 \cdot 3} (3 (x e^{3 x})) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

خطوة 8.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} (x e^{3 x}) + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

خطوة 8.3

اجمع $x$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x}{3} e^{3 x} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{x}{3}$ و $e^{3 x}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} + \frac{1}{9} (- e^{3 x}) + C$

خطوة 8.5

اجمع $\frac{1}{9}$ و $e^{3 x}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{e^{3 x}}{9} + C$

خطوة 9

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$