حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3}}{1 + x^{8}} d x$

خطوة 1

أعِد كتابة $x^{8}$ بالصيغة ${(x^{4})}^{2}$ .

$\int \frac{x^{3}}{1 + {(x^{4})}^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = x^{4}$ . إذن $d u = 4 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = x^{4}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{1 + u^{2}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{(1 + u^{2}) \cdot 4} d u$

خطوة 3.2

انقُل $4$ إلى يسار $1 + u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 (1 + u^{2})} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u$

خطوة 5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{1^{2} + u^{2}} d u$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{1^{2} + u^{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\arctan (u) + C$ .

$\frac{1}{4} (\arctan (u) + C)$

خطوة 7

بسّط.

$\frac{1}{4} \arctan (u) + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4}$ .

$\frac{1}{4} \arctan (x^{4}) + C$