حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 2 x \sqrt{x - 5} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x - 5$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x - 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int 2 (u + 5) \sqrt{u} d u$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int (u + 5) \sqrt{u} d u$

خطوة 3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int (u + 5) u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

وسّع $(u + 5) u^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$2 \int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \int u^{1 + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$2 \int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.6

أضف $2$ و $1$ .

$2 \int u^{\frac{3}{2}} + 5 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.7

أعِد ترتيب $u^{\frac{3}{2}}$ و $5 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int 5 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$2 (\int 5 u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 6

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$2 (5 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

خطوة 9.1.2

اجمع $\frac{2}{5}$ و $u^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (5 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

خطوة 9.2

بسّط.

$2 (\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 9.3

أعِد ترتيب الحدود.

$2 (\frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 5$ .

$2 (\frac{10}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اجمع $\frac{10}{3}$ و ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 11.1.2

اجمع $\frac{2}{5}$ و ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 11.2

لكتابة $\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 11.3

لكتابة $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

خطوة 11.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

اضرب $\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

خطوة 11.4.2

اضرب $3$ في $5$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

خطوة 11.4.3

اضرب $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ في $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

خطوة 11.4.4

اضرب $5$ في $3$ .

$2 (\frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

خطوة 11.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

خطوة 11.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1

أخرِج العامل $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ من $10 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1.1

أعِد ترتيب العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.1.1.1

انقُل ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

خطوة 11.6.1.1.2

انقُل ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 \frac{10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 11.6.1.2

أخرِج العامل $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ من $10 \cdot 5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 11.6.1.3

أخرِج العامل $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ من $2 \cdot 3 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

خطوة 11.6.1.4

أخرِج العامل $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ من $2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5) + 2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (5 \cdot 5 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

خطوة 11.6.2

اضرب $5$ في $5$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{\frac{2}{2}})}{15} + C$

خطوة 11.6.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.6.3.1

اقسِم $2$ على $2$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 {(x - 5)}^{1})}{15} + C$

خطوة 11.6.3.2

بسّط.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 (x - 5))}{15} + C$

خطوة 11.6.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x + 3 \cdot - 5)}{15} + C$

خطوة 11.6.3.4

اضرب $3$ في $- 5$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (25 + 3 x - 15)}{15} + C$

خطوة 11.6.4

اطرح $15$ من $25$ .

$2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$

خطوة 11.7

اضرب $2 \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.7.1

اجمع $2$ و $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15}$ .

$\frac{2 (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

خطوة 11.7.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 ({(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10))}{15} + C$

$\frac{4 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 10)}{15} + C$