حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 1}^{1} x {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = {(- 1)}^{2} + 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{2}^{2} u^{3} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{3}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{2}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{2} u^{3} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{2}^{2}$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{4} u^{4}$ في $2$ وفي $2$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.2

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.3.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.4

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 16)$

خطوة 5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $16$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (4 - 16 (\frac{1}{4}))$

خطوة 5.5.2

اجمع $- 16$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (4 + \frac{- 16}{4})$

خطوة 5.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 16$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

أخرِج العامل $4$ من $- 16$ .

$\frac{1}{2} (4 + \frac{4 \cdot - 4}{4})$

خطوة 5.5.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{1}{2} (4 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)})$

خطوة 5.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (4 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1})$

خطوة 5.5.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (4 + \frac{- 4}{1})$

خطوة 5.5.3.2.4

اقسِم $- 4$ على $1$ .

$\frac{1}{2} (4 - 4)$

خطوة 5.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اطرح $4$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

خطوة 5.6.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $0$ .

$0$