حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} \frac{x}{{(1 + 2 x^{2})}^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + 2 x^{2}$ . إذن $d u = 4 x d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + 2 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$0 + 4 x$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $4 x$ .

$4 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

اضرب $2$ في $2^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1.1

اضرب $2$ في $2^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

خطوة 1.5.1.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

خطوة 1.5.1.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

خطوة 1.5.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $8$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u^{2}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

خطوة 2.2

انقُل $4$ إلى يسار $u^{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{4 u^{2}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{- 2} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} - u^{- 1}]_{1}^{9}$

خطوة 6

احسِب قيمة $- u^{- 1}$ في $9$ وفي $1$ .

$\frac{1}{4} ((- 9^{- 1}) + 1^{- 1})$

خطوة 7

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1^{- 1})$

خطوة 8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + 1)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{9} + \frac{9}{9})$

خطوة 9.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1 + 9}{9}$

خطوة 9.3

أضف $- 1$ و $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{9}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{4 \cdot 9}$

خطوة 10.2

اضرب $4$ في $9$ .

$\frac{8}{36}$

خطوة 10.3

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{4 (2)}{36}$

خطوة 10.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $36$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

خطوة 10.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 9}$

خطوة 10.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{9}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2}{9}$

الصيغة العشرية:

$0.\overline{2}$