حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{- 20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

خطوة 1

تعذّر إكمال هذا التكامل باستخدام طريقة التكامل بالتعويض. سيستخدم Mathway طريقة أخرى.

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int - \frac{20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{20}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

خطوة 4

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $20$ خارج التكامل.

$- (20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x)$

خطوة 5

اضرب $20$ في $- 1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 x^{2}}} d x$

خطوة 6

لنفترض أن $x = \frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7}$ موجبة.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط $\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

اضرب $\frac{5}{\sqrt{7}}$ في $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.2

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.1

اضرب $\frac{5}{\sqrt{7}}$ في $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.2.2

ارفع $\sqrt{7}$ إلى القوة $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.2.3

ارفع $\sqrt{7}$ إلى القوة $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.2.6

أعِد كتابة ${\sqrt{7}}^{2}$ بالصيغة $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{7}$ في صورة $7^{\frac{1}{2}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.2.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.2.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.2.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7^{1}} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.2.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7}}{7} \sin (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.3

اجمع $\frac{5 \sqrt{7}}{7}$ و $\sin (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 {(\frac{5 \sqrt{7} \sin (t)}{7})}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.4

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5 \sqrt{7} \sin (t)}{7}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{{(5 \sqrt{7} \sin (t))}^{2}}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $5 \sqrt{7} \sin (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{{(5 \sqrt{7})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.4.3

طبّق قاعدة الضرب على $5 \sqrt{7}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{5^{2} {\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.5.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 {\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.5.2

أعِد كتابة ${\sqrt{7}}^{2}$ بالصيغة $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.5.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{7}$ في صورة $7^{\frac{1}{2}}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.5.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.5.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.5.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7^{1} \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.5.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{25 \cdot 7 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.5.3

اضرب $25$ في $7$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7^{2}}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.6

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 7 \frac{175 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.7.1

أخرِج العامل $7$ من $- 7$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 (- 1) \frac{175 \sin^{2} (t)}{49}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.7.2

أخرِج العامل $7$ من $49$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 \cdot - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.7.3

ألغِ العامل المشترك.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 + 7 \cdot - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7 \cdot 7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.7.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{175 \sin^{2} (t)}{7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.8

احذِف العامل المشترك لـ $175$ و $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.8.1

أخرِج العامل $7$ من $175 \sin^{2} (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.8.2.1

أخرِج العامل $7$ من $7$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7 (1)}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{7 (25 \sin^{2} (t))}{7 \cdot 1}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 \frac{25 \sin^{2} (t)}{1}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.8.2.4

اقسِم $25 \sin^{2} (t)$ على $1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 1 (25 \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.1.9

اضرب $25$ في $- 1$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $25$ من $25$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.3

أخرِج العامل $25$ من $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.4

أخرِج العامل $25$ من $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{25 \cos^{2} (t)}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.6

أعِد كتابة $25 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$- 20 \int \frac{1}{\sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}}} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$- 20 \int \frac{1}{5 \cos (t)} \cdot \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7} d t$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{1}{5 \cos (t)}$ في $\frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{7}$ .

$- 20 \int \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{5 \cos (t) \cdot 7} d t$

خطوة 7.2.2

اضرب $7$ في $5$ .

$- 20 \int \frac{5 \sqrt{7} \cos (t)}{35 \cos (t)} d t$

خطوة 7.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $35$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

أخرِج العامل $5$ من $5 \sqrt{7} \cos (t)$ .

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{35 \cos (t)} d t$

خطوة 7.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $35 \cos (t)$ .

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{5 (7 \cos (t))} d t$

خطوة 7.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 20 \int \frac{5 (\sqrt{7} \cos (t))}{5 (7 \cos (t))} d t$

خطوة 7.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7} \cos (t)}{7 \cos (t)} d t$

خطوة 7.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7} \cos (t)}{7 \cos (t)} d t$

خطوة 7.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 20 \int \frac{\sqrt{7}}{7} d t$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$- 20 (\frac{\sqrt{7}}{7} t + C)$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد كتابة $- 20 (\frac{\sqrt{7}}{7} t + C)$ بالصيغة $- 20 \frac{\sqrt{7}}{7} t + C$ .

$- 20 \frac{\sqrt{7}}{7} t + C$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $- 20$ و $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$\frac{- 20 \sqrt{7}}{7} t + C$

خطوة 9.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} t + C$

خطوة 9.3

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{5})$ .

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7} x}{5}) + C$

خطوة 9.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{20 \sqrt{7}}{7} \arcsin (\frac{\sqrt{7}}{5} x) + C$