حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{1}{4}} \frac{8 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 - 4 x^{2}$ . إذن $d u = - 8 x d x$ ، لذا $\frac{1}{- 8 x} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 - 4 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$0 - 8 x$

خطوة 1.1.4

اطرح $8 x$ من $0$ .

$- 8 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 1 - 4 \cdot 0$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $- 4$ في $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 {(\frac{1}{4})}^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

خطوة 1.5.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 - 4 \frac{1}{4^{2}}$

خطوة 1.5.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 1 - 4 (\frac{1}{16})$

خطوة 1.5.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$u_{upper} = 1 + 4 (- 1) \frac{1}{16}$

خطوة 1.5.1.4.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

خطوة 1.5.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 1 + 4 \cdot - 1 \frac{1}{4 \cdot 4}$

خطوة 1.5.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = 1 - 1 (\frac{1}{4})$

خطوة 1.5.1.5

أعِد كتابة $- 1 (\frac{1}{4})$ بالصيغة $- (\frac{1}{4})$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

خطوة 1.5.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

خطوة 1.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

خطوة 1.5.4

اطرح $1$ من $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}})$

خطوة 6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $\frac{3}{4}$ وفي $1$ .

$- ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

خطوة 6.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

الصيغة العشرية:

$0.26794919 \dots$