حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x {(x + 1)}^{3} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (u - 1) u^{3} d u$

خطوة 2

اضرب $(u - 1) u^{3}$ .

$\int u \cdot u^{3} - 1 u^{3} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $u$ في $u^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

اضرب $u$ في $u^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u^{3} - 1 u^{3} d u$

خطوة 3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 + 3} - 1 u^{3} d u$

خطوة 3.1.2

أضف $1$ و $3$ .

$\int u^{4} - 1 u^{3} d u$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $- 1 u^{3}$ بالصيغة $- u^{3}$ .

$\int u^{4} - u^{3} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{4} d u + \int - u^{3} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - u^{3} d u$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - \int u^{3} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

خطوة 8

بسّط.

$\frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{4} u^{4} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$