حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 - x^{2}$ . إذن $d u = - 2 x d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 - x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$0 - 2 x$

خطوة 1.1.4

اطرح $2 x$ من $0$ .

$- 2 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{- u + 1}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ بالصيغة $- u + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{- u + 1}$ في صورة ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{{(- u + 1)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.1.5

بسّط.

$\int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

خطوة 2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

خطوة 2.3

اضرب $\frac{- u + 1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{- u + 1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 2.4

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int - \frac{- u + 1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int \frac{- u + 1}{2 \sqrt{u}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{\sqrt{u}} d u)$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 5.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 5.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 5.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} \int (- u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وسّع $(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1}{2} \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6.2

أخرِج السالب.

$- \frac{1}{2} \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6.3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1}{2} \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6.7

اطرح $1$ من $2$ .

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6.8

اضرب $u^{- \frac{1}{2}}$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} \int - u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6.9

أعِد ترتيب $- u^{\frac{1}{2}}$ و $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- \frac{1}{2} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

خطوة 11

بسّط.

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اجمع ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) + C$

خطوة 13.1.2

انقُل $2$ إلى يسار ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

خطوة 13.2

لكتابة $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

خطوة 13.3

اجمع $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

خطوة 13.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 13.5

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

خطوة 13.6

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.1

اضرب $\frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 2} + C$

خطوة 13.6.2

اضرب $3$ في $2$ .

$- \frac{6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{6} + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{6} (6 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$