حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{2}}{x^{3} + 4} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{3} + 4$ . إذن $d u = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{3} + 4$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 4]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 1.1.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

خطوة 2.2

انقُل $3$ إلى يسار $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

خطوة 5

بسّط.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

خطوة 6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} + 4$ .

$\frac{1}{3} \ln (| x^{3} + 4 |) + C$