حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sqrt{5 + 2 x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 5 + 2 x^{2}$ . إذن $d u = 4 x d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 5 + 2 x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $5 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 + 2 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 + 2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$0 + 4 x$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $4 x$ .

$4 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6.2

أعِد كتابة $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ بالصيغة $\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 + 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{6} {(5 + 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$