حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x^{2} \sqrt{1 + x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 1 + x$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 1 + x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 1$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $1$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int {(u_{1} - 1)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

خطوة 2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(u_{1} - 1)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{2} = u_{1} - 1$ . إذن $d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{2} = u_{1} - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u_{1} - 1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

خطوة 3.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{3} = u_{2} + 1$ . إذن $d u_{3} = d u_{2}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{3}$ و $d$ $u_{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u_{3} = u_{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} + 1]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u_{2} + 1$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

خطوة 4.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 4.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{3}$ و $d u_{3}$ .

$\int {(u_{3} - 1)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة ${(u_{3} - 1)}^{2}$ بالصيغة $(u_{3} - 1) (u_{3} - 1)$ .

$\int (u_{3} - 1) (u_{3} - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u_{3} (u_{3} - 1) - 1 (u_{3} - 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1 - 1 (u_{3} - 1)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1 - 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 1 u_{3} - 1 \cdot - 1) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.8

أعِد ترتيب $u_{3}$ و $- 1$ .

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.9

ارفع $u_{3}$ إلى القوة $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.10

ارفع $u_{3}$ إلى القوة $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.12

أضف $1$ و $1$ .

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.14

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.15

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.16

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.17

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.17.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.17.2

أضف $4$ و $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.18

أخرِج السالب.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.19

ارفع $u_{3}$ إلى القوة $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.20

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.21

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.22

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.23

أضف $2$ و $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.24

أخرِج السالب.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - (u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.25

ارفع $u_{3}$ إلى القوة $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.26

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.27

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.28

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.29

أضف $2$ و $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot - 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.30

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 1 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.31

اضرب ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.32

اطرح ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ من $- {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

خطوة 5.33

أعِد ترتيب $- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ و ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C + \int - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 9

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{3}$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C - 2 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u_{3}$ هو $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{2}{5}$ و ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C - 2 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

خطوة 11.2

بسّط.

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 11.3.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 11.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 12

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $u_{2} + 1$ .

$\frac{2}{7} {(u_{2} + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(u_{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(u_{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 12.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $u_{1} - 1$ .

$\frac{2}{7} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(u_{1} - 1 + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 12.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + x$ .

$\frac{2}{7} {(1 + x - 1 + 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{3} {(1 + x - 1 + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{5} {(1 + x - 1 + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$