حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 x - 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.2

اجمع.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} + \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{u + 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 2.6

اضرب $\frac{u + 1}{2 \sqrt{u}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u + 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

خطوة 2.7

اضرب $2$ في $2$ .

$\int \frac{u + 1}{4 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وسّع $(u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.6

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.7

اضرب $u^{- \frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{4} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

خطوة 9

بسّط.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

خطوة 11.2

لكتابة $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

خطوة 11.3

اجمع $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

خطوة 11.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

خطوة 11.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

أخرِج العامل $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1.1

انقُل ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

خطوة 11.5.1.2

أخرِج العامل $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

خطوة 11.5.1.3

أخرِج العامل $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3)}{3} + C$

خطوة 11.5.1.4

أخرِج العامل $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 3)}{3} + C$

خطوة 11.5.2

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{1} + 3)}{3} + C$

خطوة 11.5.3

بسّط.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1 + 3)}{3} + C$

خطوة 11.5.4

أضف $- 1$ و $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2)}{3} + C$

خطوة 11.5.5

أخرِج العامل $2$ من $2 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2)}{3} + C$

خطوة 11.5.5.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2 (1))}{3} + C$

خطوة 11.5.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 1))}{3} + C$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x + 1)}{3} + C$

خطوة 11.5.6

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}{3} + C$

خطوة 11.6

اجمع.

$\frac{1 (4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{4 \cdot 3} + C$

خطوة 11.7

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{4 \cdot 3} + C$

خطوة 11.8

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{3} + C$

خطوة 11.9

اضرب ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}{3} + C$