حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \sqrt{1 - x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\cos (t)$ موجبة.

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

خطوة 2.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

خطوة 2.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 2.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

خطوة 3

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

خطوة 7

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 7.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 8

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

خطوة 10

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

خطوة 11

بسّط.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 12

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

خطوة 12.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

خطوة 12.3

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (2 \arcsin (x))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

خطوة 13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

خطوة 13.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

خطوة 13.4

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

خطوة 13.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$