حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sqrt{4 - x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 - x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - 1$

خطوة 1.1.4

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int - (- u + 4) \sqrt{u} d u$

خطوة 2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int (- u + 4) \sqrt{u} d u$

خطوة 3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int (- u + 4) u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

وسّع $(- u + 4) u^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \int - u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.2

أخرِج السالب.

$- \int - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.3

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$- \int - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \int - u^{1 + \frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \int - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \int - u^{\frac{2 + 1}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.7

أضف $2$ و $1$ .

$- \int - u^{\frac{3}{2}} + 4 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4.8

أعِد ترتيب $- u^{\frac{3}{2}}$ و $4 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int 4 u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$- (\int 4 u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$- (4 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- (4 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

خطوة 10

بسّط.

$- (\frac{8 u^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 11

أعِد ترتيب الحدود.

$- (\frac{8}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 - x$ .

$- (\frac{8}{3} {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5} {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

اجمع $\frac{8}{3}$ و ${(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{5} {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 13.1.2

اجمع ${(4 - x)}^{\frac{5}{2}}$ و $\frac{2}{5}$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{{(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

خطوة 13.1.3

انقُل $2$ إلى يسار ${(4 - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 13.2

لكتابة $\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

خطوة 13.3

لكتابة $- \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

خطوة 13.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $15$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

اضرب $\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $\frac{5}{5}$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

خطوة 13.4.2

اضرب $3$ في $5$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

خطوة 13.4.3

اضرب $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5}$ في $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{5 \cdot 3}) + C$

خطوة 13.4.4

اضرب $5$ في $3$ .

$- (\frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{15} - \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15}) + C$

خطوة 13.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{8 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

خطوة 13.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.6.1

اضرب $5$ في $8$ .

$- \frac{40 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{15} + C$

خطوة 13.6.2

اضرب $3$ في $- 2$ .

$- \frac{40 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 14

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{15} (40 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}} - 6 {(4 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$