حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sqrt{x - 1} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x - 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int (u + 1) \sqrt{u} d u$

خطوة 2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u + 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وسّع $(u + 1) u^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.6

أضف $2$ و $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} + 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3.7

اضرب $u^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7

بسّط.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$\frac{2}{5} {(x - 1)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$