حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \cos (\frac{π t}{2}) d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{π t}{2}$ . إذن $d u = \frac{π}{2} d t$ ، لذا $\frac{2}{π} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{π t}{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{π t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{2}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{π}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{π t}{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $\frac{π}{2}$ في $1$ .

$\frac{π}{2}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $π \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2}$

خطوة 1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 (1)}$

خطوة 1.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{1}$

خطوة 1.3.1.2.4

اقسِم $π \cdot 0$ على $1$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

خطوة 1.3.2

اضرب $π$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 1}{2}$

خطوة 1.5

اضرب $π$ في $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{π}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) (1 \frac{2}{π}) d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{2}{π}$ في $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{2}{π} d u$

خطوة 2.3

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{2}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u) \cdot 2}{π} d u$

خطوة 2.4

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \cos (u)}{π} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{2}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{2}{π}$ خارج التكامل.

$\frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

خطوة 4

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{2}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $\frac{π}{2}$ وفي $0$ .

$\frac{2}{π} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0))$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{2}{π} (1 - \sin (0))$

خطوة 5.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{2}{π} (1 - 0)$

خطوة 5.2.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{2}{π} (1 + 0)$

خطوة 5.2.4

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2}{π} \cdot 1$

خطوة 5.2.5

اضرب $\frac{2}{π}$ في $1$ .

$\frac{2}{π}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2}{π}$

الصيغة العشرية:

$0.63661977 \dots$