حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} = 4 y^{3} + 5 y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 5 y^{2})$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 y^{3} + 5 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

خطوة 3.2.4

اضرب $3$ في $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$12 y^{2} y' + 5 (2 y y')$

خطوة 3.3.4

اضرب $2$ في $5$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x = 12 y^{2} y' + 10 y y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$ .

$12 y^{2} y' + 10 y y' = 2 x$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $2 y y'$ من $12 y^{2} y' + 10 y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2 y y'$ من $12 y^{2} y'$ .

$2 y y' (6 y) + 10 y y' = 2 x$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $2 y y'$ من $10 y y'$ .

$2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5 = 2 x$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $2 y y'$ من $2 y y' (6 y) + 2 y y' \cdot 5$ .

$2 y y' (6 y + 5) = 2 x$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ على $2 y (6 y + 5)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $2 y y' (6 y + 5) = 2 x$ على $2 y (6 y + 5)$ .

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y' (6 y + 5)}{2 y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (6 y + 5)}{y (6 y + 5)} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $6 y + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (6 y + 5)}{6 y + 5} = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 x}{2 y (6 y + 5)}$

خطوة 5.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{x}{y (6 y + 5)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y (6 y + 5)}$