حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} x \sin (x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (x) d x$

خطوة 2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} - - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

خطوة 3.2

اضرب $\int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$ في $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (x) d x$

خطوة 4

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ و $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{\frac{3 π}{2}}$

خطوة 5.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احسِب قيمة $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ في $\frac{3 π}{2}$ وفي $\frac{π}{2}$ .

$(\frac{3 π}{2} (- \cos (\frac{3 π}{2})) + \sin (\frac{3 π}{2})) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 5.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اجمع $\frac{3 π}{2}$ و $\cos (\frac{3 π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 5.2.2.2

اجمع $\frac{π}{2}$ و $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 5.2.2.3

لكتابة $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot \frac{2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.2.2.4

اجمع $- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2})}{2} + \frac{- (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2})) \cdot 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.2.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.3.3

اضرب $π$ في $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 (0)}{2} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- \frac{0}{1} + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.3.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (- 0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.3.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 (0 + 1)}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.3.6

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 \cdot 1}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.3.7

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 5.3.8

لكتابة $\sin (\frac{3 π}{2})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 5.3.9

اجمع $\sin (\frac{3 π}{2})$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2}{2} + \frac{\sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

خطوة 5.3.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + \sin (\frac{3 π}{2}) \cdot 2}{2}$

خطوة 5.3.11

انقُل $2$ إلى يسار $\sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- 3 π \cos (\frac{3 π}{2}) - 2 + 2 \cdot \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

خطوة 5.3.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 π \cos (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

خطوة 5.3.13

أعِد كتابة $- 2$ بالصيغة $- 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

خطوة 5.3.14

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2})) - 1 (2)$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) + 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

خطوة 5.3.15

أخرِج العامل $- 1$ من $2 \sin (\frac{3 π}{2})$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

خطوة 5.3.16

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2) - (- 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

خطوة 5.3.17

أعِد كتابة $- (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ بالصيغة $- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2}))}{2}$

خطوة 5.3.18

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

خطوة 5.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- \frac{3 π \cos (\frac{π}{2}) + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

خطوة 5.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$- \frac{3 π \cdot 0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

خطوة 5.4.3

اضرب $3 π \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

اضرب $0$ في $3$ .

$- \frac{0 π + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

خطوة 5.4.3.2

اضرب $0$ في $π$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})}{2}$

خطوة 5.4.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- \frac{0 + 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))}{2}$

خطوة 5.4.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 (- 1 \cdot 1)}{2}$

خطوة 5.4.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{0 + 2 - 2 \cdot - 1}{2}$

خطوة 5.4.7

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$- \frac{0 + 2 + 2}{2}$

خطوة 5.4.8

احذِف العامل المشترك لـ $0 + 2 + 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.8.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 + 2}{2}$

خطوة 5.4.8.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 2}{2}$

خطوة 5.4.8.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2}{2}$

خطوة 5.4.8.4

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1) + 2 \cdot 1}{2}$

خطوة 5.4.8.5

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot (0 + 1) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2}$

خطوة 5.4.8.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.8.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 (1)}$

خطوة 5.4.8.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 \cdot (0 + 1 + 1)}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.4.8.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{0 + 1 + 1}{1}$

خطوة 5.4.8.6.4

اقسِم $0 + 1 + 1$ على $1$ .

$- (0 + 1 + 1)$

خطوة 5.4.9

أضف $0$ و $1$ .

$- (1 + 1)$

خطوة 5.4.10

أضف $1$ و $1$ .

$- 1 \cdot 2$

خطوة 5.4.11

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2$